\documentclass{naw-latex}
%\usepackage[dutch]{babel}

\newenvironment{definitie}%
               {\endgraf\smallbreak
                \noindent\textbf{Definitie}\sffamily}%
               {\endgraf\smallskip}


\bibitem{Bae96}{T.~B{\"a}ck,
{\em Evolutionary Algorithms in Theory and Practice},
Oxford University Press, New York, 1996.}

\bibitem{BFM00-1}{T.~B{\"a}ck, D.~B. Fogel, and Z.~Michalewicz, editors,
{\em Evolutionary Computation 1: Basic Algorithms and Operators},
Institute of Physics Publishing, 2000.}

\bibitem{Rech73}{\taal[de]I.~Rechenberg,
{\em Evolutionstrategie: Optimierung Technisher Systeme nach
Prinzipien des Biologischen Evolution},
Fromman-Hozlboog Verlag, Stuttgart, 1973.}

\bibitem{Sch95}{H.-P. Schwefel, {\em Evolution and Optimum Seeking}, Wiley, New York, 1995.}

\bibitem{SD}{http://www.sciencedirect.com/science}

\begin{document}

\StartArtikel[Titel={Een NAW-artikel},
          AuteurA={K. P. Hart},
          AdresA={Faculteit ITS\crlf 
                  TU Delft\crlf
                  Postbus 5031\crlf
                  2600 GA  Delft},
          EmailA={k.p.hart@its.tudelft.nl},
          AuteurB={Ger Koole},
          AdresB={FEW, W\&I\crlf
                  Vrije Universiteit\crlf
                  De Boelelaan 1081\textsuperscript{a}\crlf
                  1081 HV Amsterdam},
          EmailB={koole@cs.vu.nl},
          AuteurC={Chris Zaal},
          AdresC={Mathematisch Instituut\crlf
	          Universteit Leiden\crlf
	          Postbus 9512\crlf
		  2300 RA Leiden},
          EmailC={zaal@math.leidenuniv.nl},
          kolommen={2}%%%%{3} mag ook
	  ]
	 
\StartLeadIn
Intro, intro, intro. Hier komt de zogenaamde `lead', die in principe
geschreven wordt door de eindredactie. De auteur mag uiteraard een
voorstel doen. Intro, intro, intro. Lengte: 5 \`a 10 regels. Intro, intro, intro. Intro, intro, intro. Intro, intro, intro.
\StopLeadIn

Om over een topologische ruimte interessante topologische
uitspraken te kunnen doen is
het noodzakelijk dat de topologie van de ruimte uit voldoende
verzamelingen bestaat. Het ligt voor de hand dat met name over
de indiscrete ruimte in topologische zin niet veel interessants
te zeggen is! Daarom is een veel voorkomende eis die we aan een
topologische ruimte opleggen dat er in ieder geval voldoende
open verzamelingen zijn om (topologisch!) onderscheid te kunnen 
maken tussen de punten van de onderliggende verzameling.
De topologische eigenschappen die dit in meer of minder sterke
mate bewerkstelligen noemen we \emph{scheidingsaxioma's}. 
\index{scheidingsaxioma} Zij vormen het onderwerp van dit hoofdstuk.

\begin{definitie}\index{T1-ruimte@$T_1$-ruimte}\index{ruimte!T1-@$T_1$-}
Een topologische ruimte $X$ heet een \emph{$T_1$-ruimte} als voor elk
tweetal (verschillende) punten $x,y \in X$ een omgeving $U$
van $x$ bestaat met $y \notin U$.
\end{definitie}

De omgeving $U$ kan uiteraard altijd open gekozen worden.

De letter T in deze benaming is afkomstig van de Duitse
terminologie: een scheidingsaxioma is daar een \textit{Trennungsaxiom}.

De definitie ziet er asymmetrisch uit maar is het niet: de eigenschap moet voor
\emph{elk} tweetal gelden.
Als we twee verschillende punten $a$ en $b$ hebben dan vinden we een 
omgeving~$U$ van~$a$ met $b\notin U$ (bekijk het tweetal `$a$ en $b$')
\`en een omgeving~$V$ van $b$ met $a\notin V$ 
(bekijk het tweetal `$b$ en $a$').

De echt asymmetrische versie van deze definitie geeft ons de $T_0$-eigenschap:%
\index{T0-ruimte@$T_0$-ruimte}\index{ruimte!T0-@$T_0$-}
voor elk tweetal verschillende punten $x$ en $y$ is er een open verzameling~$O$
die maar \'e\'en van de punten $x$ en~$y$ bevat (we zeggen niet welke);
in de opgaven komt de $T_0$-eigenschap terug.

\onderwerp{Eerste kopje}
Om over een topologische ruimte interessante topologische
uitspraken te kunnen doen is
het noodzakelijk dat de topologie van de ruimte uit voldoende
verzamelingen bestaat. Het ligt voor de hand dat met name over
de indiscrete ruimte in topologische zin niet veel interessants
te zeggen is! Daarom is een veel voorkomende eis die we aan een
topologische ruimte opleggen dat er in ieder geval voldoende
open verzamelingen zijn om (topologisch!) onderscheid te kunnen 
maken tussen de punten van de onderliggende verzameling.
De topologische eigenschappen die dit in meer of minder sterke
mate bewerkstelligen noemen we \emph{scheidingsaxioma's}. 
\index{scheidingsaxioma} Zij vormen het onderwerp van dit hoofdstuk.
Eerst een formule om $x^3=ax+b$ op te lossen:
\[
x=\root3\of{{b\over2}+\sqrt{d}}+\root3\of{{b\over2}-\sqrt{d}},
\]
waarbij
\[
d=\left(b\over2\right)^2-\left(a\vphantom{b}\over3\right)^3.
\]

\onderwerp{Punten onderscheiden}
\begin{definitie}\index{T1-ruimte@$T_1$-ruimte}\index{ruimte!T1-@$T_1$-}
Een topologische ruimte $X$ heet een \emph{$T_1$-ruimte} als voor elk
tweetal (verschillende) punten $x,y \in X$ een omgeving $U$
van $x$ bestaat met $y \notin U$.
\end{definitie}

De omgeving $U$ kan uiteraard altijd open gekozen worden.

De letter T in deze benaming is afkomstig van de Duitse
terminologie: een scheidingsaxioma is daar een \textit{Trennungsaxiom}.

De definitie ziet er asymmetrisch uit maar is het niet: de eigenschap moet voor
\emph{elk} tweetal gelden.
Als we twee verschillende punten $a$ en $b$ hebben dan vinden we een 
omgeving~$U$ van~$a$ met $b\notin U$ (bekijk het tweetal `$a$ en $b$')
\`en een omgeving~$V$ van $b$ met $a\notin V$ 
(bekijk het tweetal `$b$ en $a$').

De echt asymmetrische versie van deze definitie geeft ons de $T_0$-eigenschap:%
\index{T0-ruimte@$T_0$-ruimte}\index{ruimte!T0-@$T_0$-}
voor elk tweetal verschillende punten $x$ en $y$ is er een open verzameling~$O$
die maar \'e\'en van de punten $x$ en~$y$ bevat (we zeggen niet welke);
in de opgaven komt de $T_0$-eigenschap terug.

\onderwerp{Kopje twee}
Om over een topologische ruimte interessante topolog te kunnen doen is
het noodzakelijk dat de topologie van de ruimte uit voldoende
verzamelingen bestaat. Het ligt voor de hand dat met name over
de indiscrete ruimte in topologische zin niet veel interessants
te zeggen is! Daarom is een veel voorkomende eis die we aan een
topologische ruimte opleggen dat er in ieder geval voldoende
open verzamelingen zijn om (topologisch!) onderscheid te kunnen 
maken tussen de punten van de onderliggende verzameling.
De topologische eigenschappen die dit in meer of minder sterke
mate bewerkstelligen noemen we \emph{scheidingsaxioma's}. 
\index{scheidingsaxioma} Zij vormen het onderwerp van deze paragraaf.

\onderwerp{Punten onderscheiden}
\begin{definitie}\index{T1-ruimte@$T_1$-ruimte}\index{ruimte!T1-@$T_1$-}
Een topologische ruimte $X$ heet een \emph{$T_1$-ruimte} als voor elk
tweetal (verschillende) punten $x,y \in X$ een omgeving $U$
van $x$ bestaat met $y \notin U$.
\end{definitie}

De omgeving $U$ kan uiteraard altijd open gekozen worden.

De letter T in deze benaming is afkomstig van de Duitse
terminologie: een scheidingsaxioma is daar een \textit{Trennungsaxiom}.

De definitie ziet er asymmetrisch uit maar is het niet: de eigenschap moet voor
\emph{elk} tweetal gelden.
Als we twee verschillende punten $a$ en $b$ hebben dan vinden we een 
omgeving~$U$ van~$a$ met $b\notin U$ (bekijk het tweetal `$a$ en $b$')
\`en een omgeving~$V$ van $b$ met $a\notin V$ 
(bekijk het tweetal `$b$ en $a$').

\onderwerp{Derde kopje}
De echt asymmetrische versie van deze definitie geeft ons de $T_0$-eigenschap:%
\index{T0-ruimte@$T_0$-ruimte}\index{ruimte!T0-@$T_0$-}
voor elk tweetal verschillende punten $x$ en $y$ is er een open verzameling~$O$
die maar \'e\'en van de punten $x$ en~$y$ bevat (we zeggen niet welke);
in de opgaven komt de $T_0$-eigenschap terug.

\onderwerp{Vierde kopje}
De Hausdorff-eigenschap is meestal de minimumeis die we aan een
topologische ruimte opleggen: Hausdorff ruimten gedragen zich in veel
opzichten redelijk regelmatig, hoewel zich zekere\ nog wel
pathologie\"en voordoen.

In de volgende propositie laten we zien dat in een Hausdorff ruimte een
rijtje ten hoogste \'e\'en limiet heeft, iets wat in een $T_1$-ruimte
niet hoeft te gelden! We herhalen eerst de definitie van
convergentie.

De Hausdorff-eigenschap is meestal de minimumeis die we aan een
topologische ruimte opleggen: Hausdorff ruimten gedragen zich in veel
opzichten redelijk regelmatig, hoewel zich zekere\ nog wel
pathologie\"en voordoen.

In de volgende propositie laten we zien dat in een Hausdorff ruimte een
rijtje ten hoogste \'e\'en limiet heeft, iets wat in een $T_1$-ruimte
niet hoeft te gelden! 

\onderwerp{Vijfde kopje}
De Hausdorff-eigenschap is meestal de minimumeis die we aan een
topologische ruimte opleggen: Hausdorff ruimten gedragen zich in veel
opzichten redelijk regelmatig, hoewel zich zekere\ nog wel
pathologie\"en voordoen.

In de volgende propositie laten we zien dat in een Hausdorff ruimte een
rijtje ten hoogste \'e\'en limiet heeft, iets wat in een $T_1$-ruimte
niet hoeft te gelden! 

De Hausdorff-eigenschap is meestal de minimumeis die we aan een
topologische ruimte opleggen: Hausdorff ruimten gedragen zich in veel
opzichten redelijk regelmatig, hoewel zich zekere\ nog wel
pathologie\"en voordoen.

In de volgende propositie laten we zien dat in een Hausdorff ruimte een
rijtje ten hoogste \'e\'en limiet heeft, iets wat in een $T_1$-ruimte
niet hoeft te gelden! 

De Hausdorff-eigenschap is meestal de minimumeis die we aan een
topologische ruimte opleggen: Hausdorff ruimten gedragen zich in veel
opzichten redelijk regelmatig, hoewel zich zekere\ nog wel
pathologie\"en voordoen.

In de volgende propositie laten we zien dat in een Hausdorff ruimte een
rijtje ten hoogste \'e\'en limiet heeft, iets wat in een $T_1$-ruimte
niet hoeft te gelden! 

De Hausdorff-eigenschap is meestal de minimumeis die we aan een
topologische ruimte opleggen: Hausdorff ruimten gedragen zich in veel
opzichten redelijk regelmatig, hoewel zich zeker nog wel
pathologie\"en voordoen.

In de volgende propositie laten we zien dat in een Hausdorff ruimte een
rijtje ten hoogste \'e\'en limiet heeft, iets wat in een $T_1$-ruimte
niet hoeft te gelden! Zie~\cite{Sch95}. 

\completepublications

\end{document}






